도함수의 수치 계산 알고리즘

다항식의 정의

수학에서, 다항식(多項式, 문화어: 여러마디식, 영어: polynomial)은 한 개 이상의 항의 합으로 이루어진 식이다. 즉, 단항식의 결합(덧셈과 뺄셈)으로 이루어진 식이다. -위키피디아

다항식의 미분계수 일반화

주어진 함수가 미분 가능할 때, 다음과 같은 정리가 알려져 있다.

(1) (도함수 공식)
$f(x) = cx^{n}$ (c는 상수) 일때, $f’(x) = ncx^{n-1}$
(2) (합 규칙)
유한 개의 함수 $f_1, f_2, …,f_n$에 대하여,
$(f_1 + f_2 + … +f_n)’(x) = f’_1(x)+f’_2(x)+…+f’_n(x)$

$n$차항의 계수를 $c_n$라고 하고, n차항을 $f_n(x)$라고 하자.

$n$차항이 $x=a$ 일 때의 미분 계수는, (1)번 공식에 의해 $f’_n(a) = nc_na^{n-1}$이다. …(3)

주어진 다항식을 $P(x) = f_1(x)+ f_2(x) + …+f_n(x)$ 라고 나타낼 때

$P’(a)$는 다음과 같다.

$P’(a) = (f_1+f_2+…+f_n)’(a)$

이때 (2)번 공식에 의하여,

$P’(a) = (f_1 + f_2 + … + f_n)’(a) = f’_1(a) + f’_2(a) + … + f’_n(a)$ 이다.

(3)번 정리를 이용해 일반화 하면,

$P’(a) = \sum_{i=0}^{n}f’_i(a) = \sum_{i=0}^{n}{ic_ia^{i-1}} $

파이썬 코드

입력 예시

첫 줄에는 차례대로 항의 개수 n, x의 값 a가 나온다.

둘째 줄 부터 n번째 줄까지 차례대로 계수 c, 차원 k가 나온다.

위 입력을 수식으로 나타내면 $P(x) = 3x^5 - 5x^4 +4x + 3$이다.

출력 예시

$P’(a)$를 출력하라.

(출력시 소숫점을 제거하기 위해 round 함수 이용)

코드

n, a = map(int, input().split())
sum = 0

for i in range(n):
    c, k = map(int, input().split())
    sum += k * c * (a ** (k-1))

print(round(sum))