참고 도서

다시 미분 적분 (나가노 히로유키, 2019)

1. 함수의 의미

$y$가 $x$에 의해 한 가지로 정해질 때

‘$y$는 $x$의 함수이다’

라 말하고 다음과 같이 나타낸다.

$y= f(x)$

2. 평균변화율의 정의

$y=f(x)$에서 $x$가 $a$에서 $b$까지 변할 때

$평균변화율 = \frac{f(b)-f(a)}{b-a} = 기울기$

3. 등차수열 일반항과 합 공식

$a_n = a_1 + (n-1)d$
$s_n = \frac{n(a_1+a_n)}{2} = \frac{n\{2a + (n-1)d\}}{2}$
($a_1$: 초항, $d$: 공차)

4. 등비수열 일반항과 합 공식

$a_n = a_1r^{n-1}$
$s_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r} \ (r \neq 1)$
$s_n = na_1\ (r =1)$
($a_1$: 초항, $r$: 공비)

5. 수열의 극한

‘$n$이 한없이 커지면 수열 ${a_n}$이 어떤 정수 $p$에 가까워진다’를

$\lim_{n \rightarrow \infty}{a_n} = p$

라고 나타낸다.

6. 함수의 극한

‘$x$가 $a$에 한없이 가까워지면 함수 $f(x)$ 값은 한없이 p에 가까워진다’를

$\lim_{x \rightarrow a}{f(x)} = p$

라고 나타낸다.

7. $\frac{0}{0}$ 형태의 극한을 구하는 방법

(i) 분모를 0으로 만드는 성분을 없앤다. (대부분은 약분)

(ii) 가까워지는 값을 대입한다.

8. 미분계수

미분계수 $f’(a)$는 $x=a$에서의 접선의 기울기를 나타낸다.

$f'(a) = \lim_{b \rightarrow a}{\frac{f(b)-f(a)}{b-a}}$

$b-a=h$라 하면 $b=a+h$가 되고 $b \rightarrow a$일 때 $h \rightarrow 0$이므로 다음과 같이 표현할 수 있다.

$f'(a) = \lim_{h \rightarrow 0}{\frac{f(a+h)-f(a)}{h}}$

9. 순열

서로 다른 n개에서 r개를 뽑는 순열의 수는 다음과 같다.

$nPr = n \times (n-1) \times (n-2) \times ... \times (n-r+1)$

10. 조합

서로 다른 n개에서 r개를 뽑는 조합의 수는

$nCr = \binom{n}{r} = \frac{nPr}{r!} = \frac{n \times (n-1) \times (n-2) \times ... \times (n-r+1)}{r \times (r-1) \times (r-2) \times ... \times 1}$

11. 2항계수

$(a+b)^n$을 전개한 식에서 $a^{n-k}b^k$의 계수는 $\binom{n}{k}$

12. 미분계수 공식

$f(x) = x^n$일 때

$f'(a) = na^n-1$

13. 상수함수의 미분계수

$f(x) = c$ 일 때

$f'(a) = 0$

14. 도함수의 정의

함수 $f(x)$에 대해

$f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$

로 구해지는 함수 $f’(x)$를 $f(x)$의 도함수라 한다.

15. 도함수 공식

$f(x) = x^n$ 일 때

$f'(x) = nx^{n-1}$

16. 미분의 표기법

$y = f(x)$ 일 때

$\lim_{h \rightarrow 0}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}} = f'(x) = y' = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{\Delta y}{\Delta x}} = \frac{dy}{dx}$

$\frac {dy}{dx}$를 ‘라이프니치 표기법’이라고 하고 분수 처럼 계산할 수 있다.

17. 합성함수의 미분 공식

$\{g(f(x))\}' = g'(f(x)) \cdot f'(x)$
$g'(f(x)) \rightarrow 겉미분$
$f'(x) \rightarrow 속미분$

18. 곱의 미분 공식

$\{f(x)g(x)\}' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$

19. 몫의 미분 공식

$\{\frac{f(x)}{g(x)}\}' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}$

20. 라디안 (호도법)

$a$를 도수법(360도법) 각도라고 하면

$\theta = \frac{a\pi}{180}$(라디안)

라고 한다.

21. 삼각함수의 정의

원점을 중심으로 하고 반지름이 1인 원(단위원)의 원주 위를 $x$축의 양의 방향에서 반시계방향으로 각도 $\theta$만큼 회전했을 때 점의 좌표를 $(cos\theta, sin\theta)$라고 한다.

또한, $tan\theta = \frac{sin\theta}{cos\theta}$로 정의한다.

22. 삼각함수의 상호 관계

$tan\theta = \frac{sin\theta}{cos\theta}$
$cos^2\theta + sin^2\theta = 1$

23. 음각﹒여각 공식

$cos(-\theta)=cos\theta$
$sin(-\theta) = -sin\theta$
$cos(\frac{\pi}{2} - \theta) = sin\theta$
$cos(\frac{\pi}{2}-\theta) = cos\theta$

24. 삼각함수의 덧셈 정리

$sin(\alpha+\beta) = sin\alpha cos\beta + cos\alpha sin\beta$
$cos(\alpha+\beta) = cos\alpha cos\beta + sin\alpha sin\beta$

25. 삼각함수의 기본 극한

$\lim_{\theta \rightarrow 0} {\frac{sin\theta}{\theta}} = 1$
$\lim_{\theta \rightarrow 0}{\frac{1-cos\theta}{\theta^2}} = \frac{1}{2}$

26. $sinx$와 $cosx$의 도함수

$(sinx)' = cosx$
$(cosx)' = -sinx$

27. $tanx$의 도함수

$(tanx)' = \frac{1}{cos^2x}$

28. 거듭제곱근의 정의

$n$이 짝수일 때

$x ^n = a \Leftrightarrow x = \pm \sqrt[n]{a}\ (a \geq 0)$

n이 홀수일 때

$x^n = a \Leftrightarrow x = \pm \sqrt[n]{a}$

29. 지수가 유리수(분수)일 때의 거듭제곱근

$a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$

30. 지수가 무리수일 때의 거듭제곱근

$lim_{x \rightarrow r}{a^x} = p$ 일 때

$a^r = p$ ($r$은 무리수)

31. 지수함수

$y = a^x$ (단, $a > 0$이면서 $a \neq 1$)

32. 로그의 정의

$a^x = p$를 만족하는 $x$의 값을

$x = log_a{p}$

로 표시한다. 이때 $a$를 밑, $p$를 진수라 한다. (단, $a > 0$이고 $a \neq 1$ 이며 $p > 0$)

33. 로그의 성질

$log_aa = 1$
$log_a1 = 0$

34. 로그 법칙

$log_aMN = log_aM + log_aN$
$log_a{\frac{M}{N}} = log_aM - log_a{N}$
$log_a{M^r}=rlog_aM$

35. 밑 변환 공식

$log_ab = \frac{log_cb}{log_ca}$
(단, $a$, $b$, $c$는 양의 실수이고 $a \neq 1$, $c \neq 1$)

36. 자연로그의 밑(네이피어 수)의 정의 1

다음 극한을 만족하는 상수 $e$를 네이피어 수(자연로그의 밑)라 한다.

$\lim_{h \rightarrow 0}{\frac{e^h-1}{h}} = 1$

37. 자연로그의 밑(네이피어 수)의 정의 2

$\lim_{h \rightarrow 0}{(1+h)^{\frac{1}{h}}} = e$
$\lim_{h \rightarrow 0}{(1+\frac{1}{x})^x} = e$

38. 로그함수의 미분

$(logx)' = \frac{1}{x}$
$(log_ax)' = \frac{1}{loga} \cdot \frac{1}{x}$

39. 지수함수의 미분

$(a^x)' = a^xloga$
$(e^x)' = e^x$

40. (응용편 1) 함수의 최대값과 최솟값 구하기

(1) 최댓값과 최솟값을 알고 싶은 양에 관해 함수를 만든다.

(2) 독립변숫값의 범위(정의역)를 확인한다.

(3) 미분해서 도함수를 구한다.

(4) 증감표를 만든다(그래프를 그린다).

41. (응용편 2) 직선으로 근사하기

1차 근사식

$x$값이 $a$에 가까울 때 1차 근사식은 다음과 같다.

$f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a)$

특히 $x$값이 0에 가까울 때는 다음과 같이 식이 더 단순해진다.

$f(x) \approx f(0) + f'(0)x$

$(1+x)^n$의 근사

$x$가 0에 가까운 값일 때 $(1+x)^n$은 다음과 같이 근사한다.

$(1+x)^n \approx 1+nx$

42. 저금리 시대의 예금 근사식

예금 원리합계 (복리법)

$f(n) = a(1+\frac{r}{100})^n$ (원)
($a$: 원금, $r$: 연이율)

저금리 ($r$이 $0$에 가깝다)

$f(n) \approx a(1 + rn)$