1. 적분의 두가지 의미
(1) 구분 구적법(區分求積法)
(2) 미분의 역연산
2. 부정적분 공식
$$
(1)\ \int{x^n}dx = \frac{1}{n+1}{x}^{n+1} + C\ (n \neq-1)
$$
$$
(2)\ \int{\cos{x}}dx = \sin{x} + C
$$
$$
(3)\ \int{\sin{x}}dx = -\cos{x} + C
$$
$$
(4)\ \int{\frac{1}{\cos^2x}}dx = \tan x + C
$$
$$
(5)\ \int{e^x}dx = e^x + C
$$
$$
(6)\ \int{a^x}dx = \frac{1}{\log{a}}{a}^{x} + C\ (a > 0이면서\ a \neq 1)
$$
$$
(7)\ \int{\frac{1}{x}}dx = \log {|x|}+ C
$$
3. 원시 함수의 정의
함수 $f(x)$에 대하여
$$
F’(x)=f(x)
$$
를 만족하는 함수 $F(x)$를 $f(x)$의 원시 함수 라고 한다.
4. 정적분의 정의
$f(x)$의 원시함수 $F(x)$에 대해
$$
F(b)-F(a)
$$
의 계산을 ‘$f(x)$를 피적분 함수로 하는 $x=a$ 부터 $x = b$ 까지의 정적분’이라 부르고
$$
\int_{a}^{b}{f(x)dx}=[F(x)]_{a}^{b} = F(b)-F(a)
$$
로 표기한다.
5. 정적분의 기본 공식
$$
\int_{a}^{b}{f(x)dx} + \int_{b}^{c}{f(x)dx} = \int_{a}^{c}{f(x)dx}
$$
$$
-\int_{a}^{b}{f(x)dx} = \int_{b}^{a}{f(x)dx}
$$
6. 선형성 (Linearity)
(1), (2)의 성질이 모두 성립하면 그 함수는 선형성을 가진다.
$$
(1)\ f(p+q) = f(p)+f(q)
$$
$$
(2)\ f(kp) = kf(p)
$$
요약하면
$$
f(kp+lq)=kf(p)+lf(q)
$$
7. 미분의 선형성
$$
\{kf(x)+lg(x)\}’ = kf’(x)+lg’(x)
$$
8. 부정적분의 선형성
$$
\int\{kf(x)+lg(x)\}dx=k\int{f(x)dx}+l\int{g(x)dx}
$$
9. 치환 적분법 공식
$x=g(t)$라 하면
$$
\int{f(x)dx}=\int{f(g(t))g’(t)dt}
$$
$$
I’(t) = \{F(g(t))\}’= F’(g(t))\cdot g’(t) = f(g(t)) \cdot g’(t)
$$
10. $\sqrt{r^2-x^2}$꼴의 정적분
$$
\int_{0}^{r}{\sqrt{r^2-x^2}dx}\ = \frac{r^2\pi}{4}
$$
원의 넓이의 $\frac{1}{4}$
11. $1+x^2$꼴의 정적분
$x = \tan\theta$ 꼴로 치환하여
$\ x: 0 \to 1$을
$\theta: 0 \to \frac{\pi}{4}$으로 적분
$$
S = \int_{0}^{1}{\frac{1}{1+x^2}dx}= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\frac{1}{1+\tan^2\theta}\frac{1}{\cos^2\theta}{d\theta}}
$$
$1+\tan^2\theta = \frac{1}{\cos^2\theta}$ 이므로
$$
S =\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\frac{1}{\frac{1}{\cos^2\theta}}\frac{1}{\cos^2\theta}{d\theta}} = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{1d\theta} = \left[ \theta \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}}=\frac{\pi}{4}
$$
12. 정적분을 이용해 부피를 구하는 방법
$x$축에 수직인 평면이 만드는 단면의 넓이가 $S(x)$인 입체 도형의 $a \leq x \leq b$인 부분의 부피 $V$는 다음 정적분으로 구할 수 있다.
$$
V = \int_{a}^{b}{S(x)dx}
$$
13. $x$축을 중심으로 회전시킨 회전체의 부피를 구하는 방법
$y = f(x),\ x= a,\ x=b\ (a<b)$ 그리고 $x$축으로 둘러싸인 부분을 $x$축을 중심으로 한 번 회전시켜 만들어지는 입체 도형(회전체)의 부피 $V$는 다음 정적분으로 구할 수 있다.
$$
V = \pi\int_{a}^{b}f^2(x)dx
$$